2023학년도 9월 모평 15번

수열 $\{ a_{n}\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

조건

(가) 모든 자연수 $k$에 대하여 $a_{4k} = r^{k}$이다. (단, $r$는 $0<|r|<1$인 상수이다.)

(나) $a_{1}<0$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여

$$a_{n+1}= \begin{cases} a_{n}+3 & (|a_{n}|\lt 5) \\ -\dfrac{1}{2}a_{n} & (|a_{n}|\ge 5) \end{cases}$$

$|a_{m}| \geq 5$를 만족시키는 $100$ 이하의 자연수 $m$의 개수를 $p$라 할 때, $p + a_{1}$의 값은? [4점]