2022학년도 수능 15번

두 점 $O_{1}$, $O_{2}$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{O_{1}O_{2}}$인 두 원 $C_{1}$, $C_{2}$가 있다. 그림과 같이 원 $C_{1}$ 위의 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $C$와 원 $C_{2}$ 위의 점 $D$가 주어져 있고, 세 점 $A$, $O_{1}$, $O_{2}$와 세 점 $C$, $O_{2}$, $D$가 각각 한 직선 위에 있다. 이때 $\angle{BO}_{1}A = \theta_{1}$, $\angle O_{2}O_{1}C = \theta_{2}$, $\angle O_{1}O_{2}D = \theta_{3}$이라 하자.

다음은 $\overline{AB} : \overline{O_{1}D} = 1 : 2\sqrt{2}$이고, $\theta_{3} = \theta_{1} + \theta_{2}$일 때, 선분 $AB$와 선분 $CD$의 길이의 비를 구하는 과정이다.

$\angle CO_{2}O_{1} + \angle O_{1}O_{2}D = \pi$이므로 $\theta_{3} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\theta_{2}}{2}$이고,

$\theta_{3} = \theta_{1} + \theta_{2}$에서 $2\theta_{1} + \theta_{2} = \pi$이므로 $\angle CO_{1}B = \theta_{1}$이다.

이때 $\angle O_{2}O_{1}B = \theta_{1} + \theta_{2} = \theta_{3}$이므로 삼각형 $O_{1}O_{2}B$와 삼각형 $O_{2}O_{1}D$는 합동이다.

$\overline{AB} = k$라 할 때,

$\overline{BO_{2}} = \overline{O_{1}D} = 2\sqrt{2}k$이므로 $\overline{AO_{2}} = \boxed{(가)}$이고,

$\angle BO_{2}A = \dfrac{\theta_{1}}{2}$이므로 $\cos \dfrac{\theta_{1}}{2} = \boxed{(나)}$이다.

삼각형 $O_{2}BC$에서

$\overline{BC} = k$, $\overline{BO_{2}} = 2\sqrt{2}k$, $\angle CO_{2}B = \dfrac{\theta_{1}}{2}$이므로

코사인법칙에 의하여 $\overline{O_{2}C} = \boxed{(다)}$이다.

$\overline{CD} = \overline{O_{2}D} + \overline{O_{2}C} = \overline{O_{1}O_{2}} + \overline{O_{2}C}$이므로

$\overline{AB}:\overline{CD} = k:\left(\dfrac{\boxed{(가)}}{2} + \boxed{(다)}\right)$이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(k)$, $g(k)$라 하고, (나)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $f(p) \times g(p)$의 값은? [4점]