2026학년도 9월 모평 14번

양수 $k$에 대하여 집합 $\displaystyle\left\{ x \,\middle|\, 0 \leq x < \dfrac{3k\pi}{2},\ x \neq \dfrac{k\pi}{2} \right\}$에서 정의된 함수 $f(x)=\tan\dfrac{x}{k}$가 있다. 점 $P(0, p)\ (p> 0)$을 지나며 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y = f(x)$의 그래프와 만나는 두 점을 $A$, $B\ (\overline{PA}<\overline{PB})$라 하고, 직선 $y = - p$가 함수 $y = f(x)$의 그래프와 만나는 점을 $C$라 하자. $\overline{AB} = 3\overline{PA}$이고 삼각형 $OCB$의 넓이가 $\dfrac{5\pi}{3}$일 때, $k + p$의 값은? (단, $O$는 원점이다.) [4점]