2022학년도 수능 30번

흰 공과 검은 공이 각각 $10$개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면

바구니에 있는 흰 공 $2$개를 주머니에 넣고,

나온 눈의 수가 $4$ 이하이면

바구니에 있는 검은 공 $1$개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 $5$번 반복할 때, $n\ (1 \leq n \leq 5)$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_{n},\ b_{n}$이라 하자. $a_{5} + b_{5} \geq 7$일 때, $a_{k} = b_{k}$인 자연수 $k\ (1 \leq k \leq 5)$가 존재할 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $q$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]